Question

【題目】已知函數 為常數，e=2.71828…是自然對數的底數），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行． （Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間；
（Ⅲ）設g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）為f（x）的導函數．證明：對任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f′（x）= ，x∈（0，+∞）， 且y=f（x）在（1，f（1））處的切線與x軸平行，
∴f′（1）=0，
∴k=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）= （1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），
令h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），
當x∈（0，1）時，h（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，h（x）＜0，
又ex＞0，
∴x∈（0，1）時，f′（x）＞0，
x∈（1，+∞）時，f′x）＜0，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；
證明：（Ⅲ）∵g（x）=（x2+x）f′（x），
∴g（x）= （1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），
∴x＞0，g（x）＜1+e﹣21﹣x﹣xlnx＜ （1+e﹣2），
由（Ⅱ）h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），
∴h′（x）=﹣（lnx﹣lne﹣2），x∈（0，+∞），
∴x∈（0，e﹣2）時，h′（x）＞0，h（x）遞增，
x∈（e﹣2 ， +∞）時，h（x）＜0，h（x）遞減，
∴h（x）max=h（e﹣2）=1+e﹣2 ，
∴1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2 ，
設m（x）=ex﹣（x+1），
∴m′（x）=ex﹣1=ex﹣e0 ，
∴x∈（0，+∞）時，m′（x）＞0，m（x）遞增，
∴m（x）＞m（0）=0，
∴x∈（0，+∞）時，m（x）＞0，
即 ＞1，
∴1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2＜ （1+e﹣2），
∴x＞0，g（x）＜1+e﹣2
【解析】（Ⅰ）先求出f′（x）= ，x∈（0，+∞），由y=f（x）在（1，f（1））處的切線與x軸平行，得f′（1）=0，從而求出k=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）= （1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），令h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），求出h（x）的導數，從而得f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；（Ⅲ）因g（x）= （1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），由（Ⅱ）h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），得1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2 ， 設m（x）=ex﹣（x+1），得m（x）＞m（0）=0，進而1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2＜ （1+e﹣2），問題得以證明．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．