Question

設函數在上的最大值為（）．
（1）求數列的通項公式；
（2）求證：對任何正整數n (n≥2)，都有成立；
（3）設數列的前n項和為S_n，求證：對任意正整數n，都有成立．

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

試題分析：（1）先求得，令，得或，因為要考慮根與定義域的位置關系，故需討論n的取值．當時，，此時，函數單調遞減；當時，，將定義域分段，并考慮導函數符號，劃分單調區間，判斷函數大致圖象，進而求最大值，從而求得；（2）由（1）得，將所求證不等式等價變形為，，再利用二項式定理證明；（3）由（2）得，，再將不等式放縮為可求和的數列問題處理．
（1）
，
當時，由知或，         
當時，則，時，，在上單調遞減，
所以
當時，，時，，時，，
∴在處取得最大值，即，
綜上所述，.
（2）當時，要證，只需證明
∵

∴,所以，當時，都有成立．
（3）當時，結論顯然成立；
當時，由（II）知


．
所以，對任意正整數，都有成立．                    13分