Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別為（﹣1，0），（1，0），且AC、BC所在直線的斜率之積等于﹣2，記頂點C的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）設直線y=2x+m（m∈R且m≠0）與曲線E相交于P、Q兩點，點M（ ，1），求△MPQ面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設C（x，y），由題意，可得 =﹣2（x≠±1），

∴曲線E的方程為 =1（x≠±1）

（2）解：設P（x1，y1），Q（x2，y2），

聯立 ，消去y，得6x2+4mx+m2﹣2=0，

∵△=48﹣8m2＞0，∴m2＜6，

∵x≠±1，∴m≠±2，

又∵m≠0，∴0＜m2＜6，且m2≠4，

∵ ， ，

∴|PQ|= |x1﹣x2|=

=

= ．

點M（ ，1）到PQ的距離d= = ，

∵0＜m2＜6，m2≠4，

∴ =（ ）2= = m2m2（12﹣2m2）

≤ （ ）3= = ，

當且僅當m2=12﹣2m2時，取等號，又m2≠4，

∴ ∈（0， ）．

∴△MPQ面積的取值范圍是（0， ）

【解析】（1）設C（x，y），由題意，可得 =﹣2（x≠±1），由此能求出曲線E的方程．（2）設P（x1，y1），Q（x2，y2），聯立 ，得6x2+4mx+m2﹣2=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式、三角形面積公式，結合已知條件能求出△MPQ面積的取值范圍．