Question

【題目】已知橢圓 的離心率為 ，四個頂點構成的菱形的面積是4，圓M：（x+1）2+y2=r2（0＜r＜1）．過橢圓C的上頂點A作圓M的兩條切線分別與橢圓C相交于B，D兩點（不同于點A），直線AB，AD的斜率分別為k1 ， k2 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）當r變化時，①求k1k2的值；②試問直線BD是否過某個定點？若是，求出該定點；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題設知， ， ，又a2﹣b2=c2，

解得a=2，b=1．

故所求橢圓C的方程是

（2）

解：AB：y=k1x+1，則有 ，化簡得 ，

對于直線AD：y=k2x+1，同理有 ，

于是k1，k2是方程（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2=0的兩實根，故k1k2=1．

考慮到r→1時，D是橢圓的下頂點，B趨近于橢圓的上頂點，故BD若過定點，則猜想定點在y軸上．

由 ，得 ，于是有 ．

直線BD的斜率為 ，

直線BD的方程為 ，

令x=0，得 ，

故直線BD過定點

【解析】（1）利用已知條件求出a，b即可求解橢圓C的方程．（2）AB：y=k1x+1，則有 ，化簡得 ，直線AD：y=k2x+1，同理有 ，推出k1 ， k2是方程（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2=0的兩實根，故k1k2=1．考慮到r→1時，D是橢圓的下頂點，B趨近于橢圓的上頂點，故BD若過定點，則猜想定點在y軸上．聯立直線與橢圓方程，求出相關點的坐標，求出直線BD的方程，推出直線BD過定點．