Question

已知f(x)=,a≠b,
求證：|f(a)-f(b)|＜|a-b|.

Answer 1

證明略

方法一 ∵f(a)=,f(b)= ,
∴原不等式化為|-|＜|a-b|.
∵|-|≥0，|a-b|≥0，
∴要證|-|＜|a-b|成立,
只需證（-）²＜(a-b)².
即證1+a²+1+b²-2＜a²-2ab+b²,
即證2+a²+b²-2＜a²-2ab+b².
只需證2+2ab＜2，
即證1+ab＜.
當(dāng)1+ab＜0時(shí)，∵＞0,
∴不等式1+ab＜成立.
從而原不等式成立.
當(dāng)1+ab≥0時(shí)，要證1+ab＜,
只需證(1+ab)²＜（）²,
即證1+2ab+a²b²＜1+a²+b²+a²b²,即證2ab＜a²+b².
∵a≠b,∴不等式2ab＜a²+b²成立.∴原不等式成立.
方法二 ∵|f（a）-f（b）|=|-|
==，
又∵|a+b|≤|a|+|b|=+＜+，
∴＜1.
∵a≠b,∴|a-b|＞0.∴|f(a)-f(b)|＜|a-b|.