Question

（2012•江西模擬）已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的一系列對應值如表：

x	…	- π 4	0	π 6	π 4	π 2	3 4 π	…
y	…	0	1	1 2	0	-1	0	…

（1）求f（x）的解析式；
（2）若在△ABC中，AC=2，BC=3，f(A)=-

1

2

（A為銳角），求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）觀察表格可得出函數f（x）的周期為π，根據周期公式及ω大于0，可得出ω的值，然后再將x=-

π

4

時，y=0代入函數解析式中，并根據φ的范圍，利用正弦函數的圖象與性質得出φ的度數，將ω及φ的值代入，即可確定出函數f（x）的解析式；
（2）由第一問確定出的函數解析式，以及f（A）=-

1

2

，根據A為銳角，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，進而確定出sinA及cosA的值，由sinA，AC及C的值，利用正弦定理求出sinB的值，由BC大于AC，根據大邊對大角可得出B小于A，得到B的范圍，由sinB的值，利用同角三角函數間的基本關系求出cosB的值，然后利用誘導公式得到sinC=sin（A+B），將sin（A+B）利用兩角和與差的正弦函數公式化簡后，將各自的值代入求出sin（A+B）的值，即為sinC的值，最后由AC，BC及sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（1）由題中表格給出的信息可知，
函數f（x）的周期為T=

3π

4

-（-

π

4

）=π，且ω＞0，
∴ω=

2π

π

=2，
由表格得：sin[2×（-

π

4

）+φ]=0，可得：φ=

π

2

+2kπ（k∈Z），
由0＜φ＜π，所以φ=

π

2

，
所以函數的解析式為f（x）=sin（2x+

π

2

）=cos2x；…（6分）
（2）∵f（A）=cos2A=-

1

2

，且A為銳角，
∴2A=

2π

3

，即A=

π

3

，
在△ABC中，AC=2，BC=3，
由正弦定理得

BC

sinA

=

AC

sinB

，
∴sinB=

AC•sinA

BC

=

3

3

，
∵BC＞AC，∴B＜A=

π

3

，∴cosB=

6

3

，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

3

2

×

6

3

+

1

2

×

3

3

=

3 2 + 3

6

，
又AC=2，BC=3，
∴S△ABC=

1

2

AC•BC•sinC=

3 2 + 3

2

．…（12分）

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：三角函數的周期公式，正弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，誘導公式，以及三角形的面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．