Question

【題目】已知函數， (為常數)．

（Ⅰ）求函數在點處的切線方程；

（Ⅱ）當函數在處取得極值,求函數的解析式；

（Ⅲ)當時，設，若函數在定義域上存在單調減區間，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）g(x)= (x∈R) ;(3) ，).

【解析】試題分析：(1)求出函數的導數,求得切線的斜率和切點,運用點斜式方程即可得到切線方程;

(2)求得的導數,根據題意可得, ,解方程即可得到所求解析式;

(3)若函數在定義域上存在單調減區間依題存在使， 即存在使,運用參數分離,求得右邊的最小值,即可得到所求范圍.

試題解析：（Ⅰ）由 ()，可得 ()，∴f(x)在點(1，f(1))處的切線方程是，即，所求切線方程為；

（Ⅱ）∵又g(x)= 可得，且g(x)在x=2處取得極值-2．

∴，可得解得，．所求g(x)= (x∈R) ．

(3)∵， ()．

依題存在使，∴即存在使，

∵不等式等價于 (min)

由基本不等式知，，)

∵存在，不等式(*)成立，∴．所求，)