Question

【題目】對于給定數列，若數列滿足：對任意，都有，則稱數列是數列的“相伴數列”.

（1）若，且數列是數列的“相伴數列”，試寫出的一個通項公式，并說明理由；

（2）設，證明：不存在等差數列，使得數列是數列的“相伴數列”；

（3）設,（其中），若是數列的“相伴數列”，試分析實數b、q的取值應滿足的條件.

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】

（1）設，代入，運算得到小于0，利用“相伴數列”定義即可判斷出；

（2）假設存在等差數列是的“相伴數列”，則有 分別討論與時與的大小，根據是等差數列推出矛盾 所以，不存在等差數列，使得數列是的“相伴數列”.

（3）對b的大小進行分類討論，寫出的前后連續兩項，根據得出b、q的取值滿足的條件．

解：（1），

此時,所以 是數列的“相伴數列”．

注：答案不唯一，只需是正負相間的數列．

（2）證明，假設存在等差數列是的“相伴數列”，則有

若，則由 得…①，

又由 得

又因為是等差數列，所以，得，與①矛盾

同理，當，則由 得…②，

又由 得,

又因為是等差數列，所以，得，與②矛盾，

所以，不存在等差數列，使得數列是的“相伴數列”.

（3）由于，易知 且，

①當 時， ，由于對任意，都有，

故只需 ，

由于，所以當n=2k,k時，，

故只需當n=2k+1,k時，=，

即<b對k恒成立，得；

②當0<b<1時，,,

與矛盾，不符合題意；

③當b<-1時，，

當n=2k+1,k時，，

故只需當n=2k,k時，，

即>b對k恒成立，得；

④當-1時，,,

下證只需bq>2,若bq>2，則q<，

當n=2k+1,k時，，

當n=2k,k時，，符合題意．

綜上所述，實數的取值應滿足的條件為：

或.