Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

已知在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），現以原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；

（2）在曲線上是否存在一點，使點到直線的距離最小？若存在，求出距離的最小值及點的直角坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）， .

【解析】試題分析：（1）把曲線的參數方程分類參數，根據同角三角函數的基本關系消去參數得到其普通方程，根據把直線的極坐標方程化成直角坐標方程；（2）設，由點到直線的距離公式得到距離關于參數的的函數關系，通過三角恒等變換和三角函數的性質得到最小值和相應點的坐標.

試題解析：（1）由題意知曲線的參數方程可化簡為，

．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

由直線的極坐標方程可得直角坐標方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）若點是曲線上任意一點，則可設，

設其到直線的距離為，則．．．．．．．．．．．．．．7分

化簡得，當，即時， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

此時點的坐標為……………………10分