Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）求單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，證明：在上有最小值；設(shè)在上的最小值為，求函數(shù)的值域．

Answer 1

【答案】（1）在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

（2）.

【解析】分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定單調(diào)區(qū)間，（2）先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性以及零點(diǎn)存在定理確定導(dǎo)函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定單調(diào)性，由單調(diào)性確定最小值.根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)條件得，根據(jù)（1）的單調(diào)性確定值域.

詳解：（1）．

由得，或；由得．

所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

（2）．設(shè)，則當(dāng)時(shí)，， 在上是增函數(shù)．

因?yàn)?/span>，，故在上有唯一零點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．故當(dāng)時(shí)，在上的最小值．

因?yàn)?/span>，，所以．

當(dāng)時(shí)，是的遞減函數(shù)，所以等價(jià)于．

由（1）知在遞減，所以

于是函數(shù)的值域?yàn)?/span>．