Question

（本小題滿分12分）
　　　如圖，在四棱錐P-ABCD中，則面PAD⊥底面ABCD，側棱PA=PD＝，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點。

（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求異面直線PD與CD所成角的大小；
（Ⅲ）線段AD上是否存在點Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析。
（Ⅱ）
（Ⅲ），理由見解析。

解法一：
（Ⅰ）證明：在△PAD中PA=PD,O為AD中點，所以PO⊥AD，
又側面PAD⊥底面ABCD，平面平面ABCD=AD，平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD。
（Ⅱ）連結BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC，

有OD∥BC且OD=BC，所以四邊形OBCD是平行四邊形，
所以OB∥DC。
由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO為銳角，
所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角。
因為AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1，
所以OB＝，
在Rt△POA中，因為AP＝，AO＝1，所以OP＝1，
在Rt△PBO中，tan∠PBO＝。
（Ⅲ）假設存在點Q，使得它到平面PCD的距離為。
　　　設QD＝x，則，由（Ⅱ）得CD=OB=，
　　　在Rt△POC中，
所以PC=CD=DP,
由V_p-DQC=V_Q-PCD,得2，所以存在點Q滿足題意，此時。
解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）以O為坐標原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系O-xyz,依題意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0)，
P(0,0,1)，

所以
所以異面直線PB與CD所成的角是arccos，
（Ⅲ）假設存在點Q，使得它到平面PCD的距離為，
由(Ⅱ)知
設平面PCD的法向量為n=(x₀,y₀,z₀).
則所以即，
取x₀=1,得平面PCD的一個法向量為n=(1,1,1).
設由，得解y=-或y=(舍去)，
此時，所以存在點Q滿足題意，此時.