Question

矩形ABCD與矩形ABEF的公共邊為AB，且平面ABCD平面ABEF，如圖所示，FD， AD=1， EF=．

（Ⅰ）證明：AE 平面FCB；
（Ⅱ）求異面直線BD與AE所成角的余弦值
（Ⅲ）若M是棱AB的中點，在線段FD上是否存在一點N，使得MN∥平面FCB？
證明你的結論．

Answer 1

（Ⅰ）見解析
（Ⅱ）
（Ⅲ）見解析

(1) 平面ABCD平面ABEF,
且四邊形ABCD與ABEF是矩形,
AD平面ABEF,ADAE,
BC∥AD BCAE
又FD=2,AD=1,所以AF=EF=,
所以四邊形ABEF為正方形.AEFB,
又BFBF平面BCF，BC平面BCF
所以AE平面BCF……………………………………………4分
(2)設BFAE=O,取FD的中點為H,連接OH,在 OH//BD,
HOF即為異面直線BD與AE所成的角(或補角),
在中,OH=1,FH=1,FO=,cosHOF=
異面直線BD與AE所成的角的余弦值為………………………….8分
(3)當N為FD的中點時, MN∥平面FCB
證明：取CD的中點G,連結NG，MG，MN，
則NG//FC,MG//BC,
又NG平面NGM，MG平面NGM且NGMG=G
所以平面NGM//平面FBC,
MN平面NGM
MN//平面FBC……………………………………………………………12分