Question

已知四邊形為菱形,,兩個正三棱錐(底面是正三角形且頂點在底面上的射影是底面正三角形的中心)的側棱長都相等,點分別在上,且.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求平面與底面所成銳二面角的平面角的正切值;
(Ⅲ)求多面體的體積.

Answer 1

(Ⅰ) 見解析(Ⅱ)  (Ⅲ)

(Ⅰ)取中點，連、，則


面，  




又
     ……………3分
(Ⅱ)設在底面的射影分別為,則
由所給的三棱錐均為正三棱錐且兩三棱錐全等,
故∥,且=,∴四邊形為平行四邊形,
∴∥,又分別為△,△的中心,
∴在菱形的對角線上,
∴∥,即∥平面…………………………………5分
設平面與平面的交線為,取中點連結,
由
∴為平面與平面所成二面角的平面角
…………………………7分
在△中, ,
∴，
∴……………………………9分
(Ⅲ設、在和上的射影為，則均在直線上，且為平行四邊形，。
為四棱錐                       

設，則，又，由（1）知
即
面，，又面。
設四棱錐的高為，且    

 在中，

F

         
                   ……………13分