Question

如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，點E在PD上，且PE：ED=2：1．
（I）證明PA⊥平面ABCD；
（II）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角θ的大小；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC？證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（I）證明PA⊥AB，PA⊥AD，AB、AD是平面ABCD內的兩條相交直線，即可證明PA⊥平面ABCD；
（II）求以AC為棱，作EG∥PA交AD于G，作GH⊥AC于H，連接EH，說明∠EHG即為二面角θ的平面角，解三角形求EAC與DAC為面的二面角θ的大小；
（Ⅲ）證法一F是棱PC的中點，連接BM、BD，設BD∩AC=O，利用平面BFM∥平面AEC，證明使BF∥平面AEC．
證法二建立空間直角坐標系，求出、、共面，BF?平面AEC，所以當F是棱PC的中點時，BF∥平面AEC．
還可以通過向量表示，和轉化得到、、是共面向量，BF?平面ABC，從而BF∥平面AEC．
解答：解：（Ⅰ）證明因為底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，
由PA²+AB²=2a²=PB²知PA⊥AB．
同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：作EG∥PA交AD于G，
由PA⊥平面ABCD．
知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，連接EH，
則EH⊥AC，∠EHG即為二面角θ的平面角．
又PE：ED=2：1，所以．
從而，θ=30°．
（Ⅲ）解法一以A為坐標原點，直線AD、AP分別為y軸、z軸，
過A點垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標系如圖．
由題設條件，相關各點的坐標分別為.．
所以．．．
設點F是棱PC上的點，，其中0＜λ＜1，
則=．
令得即
解得．即時，．
亦即，F是PC的中點時，、、共面．
又BF?平面AEC，所以當F是棱PC的中點時，BF∥平面AEC．
解法二：當F是棱PC的中點時，BF∥平面AEC，證明如下，
證法一：取PE的中點M，連接FM，則FM∥CE．①
由，知E是MD的中點．
連接BM、BD，設BD∩AC=O，則O為BD的中點．
所以BM∥OE．②
由①、②知，平面BFM∥平面AEC．
又BF?平面BFM，所以BF∥平面AEC．
證法二：
因為==．
所以、、共面．
又BF?平面ABC，從而BF∥平面AEC．
點評：本題考查直線與平面平行的判定，二面角的求法，直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，轉化思想，是中檔題．