Question

如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=

2

a，點E在PD上，且PE：ED=2：1．
（Ⅰ）求二面角E-AC-D的大小：
（Ⅱ）在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由已知中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=

2

a，由勾股定理可得PA⊥AB，PA⊥AD，由線面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABCD；
（2）設F為PC中點，取PE中點G，連接FG、BG，設AC、BD交于O，連接OE，由三角形中位線定理可得GF∥EC，OE∥BP，根據(jù)面面平行的判定定理可得平面BGF∥平面AEC，由面面平行的性質(zhì)可得BF∥平面AEC．

解答：解：（1）由ABCD是菱形，且∠ABC=60°得
AB=BC=CD=AD=AC=PA=a
由PB=PD=

2

a
得PB²=PA²+AB²，PD²=PA²+AD²
∴PA⊥AB，PA⊥AD
∴PA⊥平面ABCD
（2）設F為PC中點，取PE中點G，連接FG、BG
設AC、BD交于O，連接OE
由PG=GE，PF=FC得GF∥EC
由DO=OB，DE=EG得OE∥BG
∴平面BGF∥平面AEC
∴BF∥平面AEC
∴F是PC中點時，BF∥平面AEC

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，其中（1）的關鍵是利用勾股定理證得PA⊥AB，PA⊥AD，（2）的關鍵是證得BGF∥平面AEC．