Question

如圖，在底面是菱形的四棱錐 P-ABCD中，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，點E、F、G分別為CD、PD、PB的中點．PA=AD=2．
（1）證明：PC∥平面FAE；
（2）求二面角F-AE-D的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位線性質，可得PC∥EF，利用線面平行的判定，即可得出結論；
（2）設H，M分別為AE，AD的中點，連接FM，MH，證明∠FHM為二面角F-AE-D的平面角，即可求出二面角F-AE-D的平面角的正切值．

解答：（1）證明：∵點E、F分別為CD、PD的中點，
∴PC∥EF
∵PC?平面FAE，EF?平面FAE，
∴PC∥平面FAE；
（2）解：由題意，CD⊥AE
設H，M分別為AE，AD的中點，連接FM，MH
∵F是PD的中點，
∴FM∥PA，MH∥DE
∵PA⊥平面ABCD，
∴FM⊥平面ABCD，
∵CD⊥AE，
∴MH⊥AE
∴∠FHM為二面角F-AE-D的平面角
∵PA=AD=2，
∴在直角△FMH中，FM=1，MH=

1

2

∴tan∠FHM=

FM

MH

=2，
即二面角F-AE-D的平面角的正切值為2．

點評：本題考查線面平行，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．