Question

【題目】已知且，函數，.

（1）指出的單調性（不要求證明）；

（2）若有求的值；

（3）若，求使不等式恒成立的的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）上的減函數；（2）；（3）.

【解析】

(1)對分類討論，然后說明函數的單調性；

(2)構造新函數，說明的奇偶性，再根據已知條件即可計算出的值；

(3)根據的奇偶性，將不等式變形，再根據的單調性即可將函數值的大小關系轉變為自變量間的大小關系，再利用二次函數的求解出結果.

（1）的定義域為，

當時，，是減函數，所以是減函數，

當時，，是增函數，所以是減函數，

綜上可知：是上的減函數；

（2）令，因為，所以是奇函數，

又因為即也是奇函數，所以是上的奇函數，

所以，所以，

所以；

（3），因為與均是上的減函數和奇函數，

所以也是上的減函數和奇函數，

又因為恒成立，所以恒成立，

所以恒成立，所以恒成立，所以，

所以.