Question

甲乙兩人進行掰手腕比賽，比賽規則規定三分鐘為一局，三分鐘內不分勝負為平局，當有一人贏3局就結束比賽，否則繼續進行，根據以往經驗，每次甲勝的概率為，乙勝的概率為，且每局比賽勝負互不受影響．
（Ⅰ）求比賽4局乙勝的概率；
（Ⅱ）求在2局比賽中甲的勝局數為ξ的分布列和數學期望；
（Ⅲ）若規定贏一局得2分，平一局得1分，輸一局得0分，比賽進行五局，積分有超過5分者比賽結束，否則繼續進行，求甲得7分的概率．

Answer 1

(I)；
(II) 分布列為：

	0	1	2
P

 
數學期望為1；
（Ⅲ）

解析試題分析：(I)4局乙勝,即4局中乙3勝，且第4局為勝，前3局賽果為乙勝2局平1局或乙勝2局甲勝1局，所求概率為，(II)甲的勝局數為ξ可取0,1,2，ξ取0包括輸2局或平兩局或1局輸1局平，所以，ξ取1包括1贏1輸或1贏1平，所以，ξ取2包括2次都贏，所以，數學期望；（Ⅲ）甲若得7分, 要進行4局或5局比賽，且最后一局甲贏, 設比賽進行4局為事件A即為前3局要平1勝2,第4局勝,比賽進行5局為事件B即為前4局勝1平3或輸1平1勝2,第5局勝,則,所以.
試題解析：由已知得甲贏的概率為,平的概率為,輸的概率為,
乙贏的概率為,平的概率為,輸的概率為, 
(I)4局乙勝,即4局中乙3勝，且第4局為勝 
所求的概率為 
(II) 取0,1,2 
  
  
分布列如下：

	0	1	2
P

 
（Ⅲ）甲若得7分, 要進行4局或5局比賽，且最后一局甲贏, 設比賽進行4局事件為A,比賽進行5局事件為B,則
,
所以 
考點：概率分布列和數學期望