Question

【題目】已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且當x≤0時，f（x）=x2+2x．
（1）現已畫出函數f（x）在y軸左側的圖像，如圖所示，請補出完整函數f（x）的圖像，并根據圖像寫出函數f（x）的增區間；
（2）寫出函數f（x）的解析式和值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為函數為偶函數，故圖像關于y軸對稱，補出完整函數圖像如圖：

所以f（x）的遞增區間是（﹣1，0），（1，+∞）

（2）解：設x＞0，則﹣x＜0，所以f（﹣x）=x2﹣2x，因為f（x）是定義在R上的偶函數，所以f（﹣x）=f（x），所以x＞0時，f（x）=x2﹣2x，

故f（x）的解析式為

值域為{y|y≥﹣1}

【解析】（1）因為函數為偶函數，故圖像關于y軸對稱，由此補出完整函數f（x）的圖像即可，再由圖像直接可寫出f（x）的增區間．（2）可由圖像利用待定系數法求出x＞0時的解析式，也可利用偶函數求解析式，值域可從圖形直接觀察得到．
【考點精析】掌握函數的值域和函數的單調性是解答本題的根本，需要知道求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；注意：函數的單調性是函數的局部性質；函數的單調性還有單調不增，和單調不減兩種．