Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣a|﹣2．
（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）+|2x﹣3|＞0的解集；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）＜|x﹣3|恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）=|x﹣a|﹣2．若a=1，
不等式f（x）+|2x﹣3|＞0，化為：|x﹣1|+|2x﹣3|＞2．
當x≥ 時，3x＞6．解得x＞2，
當x∈（1， ）時，可得﹣x+2＞2，不等式無解；
當x≤1時，不等式化為：4﹣3x＞2，解得x ．
不等式的解集為：
（Ⅱ）關于x的不等式f（x）＜|x﹣3|恒成立，可得|x﹣a|﹣2＜|x﹣3|
設f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|，
因為|x﹣a|﹣|x﹣3|≤|a﹣3|，
所以，f（x）max=|a﹣3|
即：|a﹣3|＜2
所以，a的取值范圍為（1，5）
【解析】（Ⅰ）化簡不等式，利用絕對值的幾何意義求解即可．（Ⅱ）設f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|≤|a﹣3|，轉化不等式為a的不等式，求解即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用絕對值不等式的解法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．