Question

【題目】如圖，有一塊半徑為2的半圓形紙片，計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點在圓周上，設(shè)CD=2x，梯形ABCD的周長為y．
（1）求出y關(guān)于x的函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求y的最大值，并指出相應(yīng)的x值．

Answer 1

【答案】
（1）解：作OH，DN分別垂直DC，AB交于H，N，

連結(jié)OD．由圓的性質(zhì)，H是中點，設(shè)OH=h，

h= ．

又在直角△AND中，AD= = =2 ，

∴y=f（x）=AB+2AD+DC=4+2x+4 ，其定義域是（0，2）

（2）解：令t= ，則t∈（0， ），且x=2﹣t2，

∴y=4+2（2﹣t2）+4t=﹣2（t﹣1）2+10，

當(dāng)t=1，即x=1時，y的最大值是10

【解析】（1）作OH，DN分別垂直DC，AB交于H，N，連結(jié)OD，求出OH，又在直角△AND中，進(jìn)一步求出AD，從而求出梯形ABCD的周長y與x間的函數(shù)解析式，根據(jù)AD＞0，AN＞0，CD＞0可求出定義域；（2）利用二次函數(shù)在給定區(qū)間上求出最值的知識可求出函數(shù)的最大值．
【考點精析】通過靈活運(yùn)用函數(shù)的最值及其幾何意義，掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值即可以解答此題．