Question

【題目】已知四邊形為等腰梯形，∥，沿對角線將旋轉，使得點至點的位置，此時滿足.

（1）證明；

（2）求二面角平面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

(1）先由余弦定理的計算得到 ,

折疊后，又，故面，根據折疊后不變的一些垂直關系證得面，進而得到結論.

（2）建立空間直角坐標系，用坐標表示向量，求得平面的法向量與平面的法向量，計算再求得正弦即可.

解：（1） 證明：在等腰梯形中，由平面幾何知識易得，又，由余弦定理可得，則，故,

折疊后，又，故面，

而面，故.

（2）由（1）知面，，以點為坐標原點，以所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則

則，

設平面的法向量為，則即.

取則故

同理可求得平面的法向量

設二面角的平面角為，則，

結合圖形可知.