Question

【題目】已知函數 在 上單調遞增,
（1）若函數 有實數零點，求滿足條件的實數 的集合 ；
（2）若對于任意的 時，不等式 恒成立，求 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解：函數 級 單調遞增區間是 ，因為 在 上單調遞增，所以 ；
令 ，則
函數 有實數零點，即： 在 上有零點，只需：
方法一 解得
方法二 解得
綜上： ，即
（2）解： 化簡得
因為對于任意的 時，不等式 恒成立，
即對于 不等式 恒成立，
設 （ ）
法一
當 時，即 不符合題意
當 時，即 ，只需
得 從而
當 ，即 ，只需
得 或 ，與 矛盾
法二 得
綜上知滿足條件的 的范圍為
【解析】(1)首先根據二次函數對稱軸的位置關系結合函數的增減性得到a的取值范圍利用整體思想令 2x = t ( t > 0 )把原函數轉化為f ( t ) = t 2 2 a t + 1 t > 0在 ( 0 , + ∞ ) 上有零點即在 ( 0 , + ∞ ) 上有根，結合二次函數圖像的性質限制Δ≥0，a>0，f(0)>0得到關于a的不等式組解出即可。(2)結合(1)的結果整理化簡不等式轉化為當 1 ≤ a ≤ 2 不等式 ( 2x+1 1 ) a + 2 2x 2 > 0 恒成立，由整體思想構造函數 g(x) 關于2x 的二次函數當 1 ≤ a ≤ 2恒成立的問題，結合二次函數在指定區間上的最值問題解出x的取值范圍即可。
【考點精析】認真審題，首先需要了解復合函數單調性的判斷方法(復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”)，還要掌握二次函數在閉區間上的最值(當時，當時，；當時在上遞減，當時，)的相關知識才是答題的關鍵．