Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，為的中點(diǎn)，底面，.

（1）求證：平面；

（2）求鈍二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）由線面垂直的性質(zhì)定理與矩形的性質(zhì)可證，再由線面垂直的判定定理可證平面，即，又由等腰三角形三線合一可知，最后由線面垂直的判定定理可證；

（2）由已知三條直線兩兩垂直，于是可以分別以射線、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而表示點(diǎn)B,P,C,D的坐標(biāo)，即可表示向量，再分別表示平面與平面的法向量，最后由數(shù)量積計(jì)算夾角的余弦值.

（1）證明：∵平面，∴.

∵四邊形是矩形，所以，

由 平面，∴.

，為的中點(diǎn)，∴

由 平面.

（2）由已知三條直線兩兩垂直，于是可以分別以射線、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則,

所以

設(shè)平面的法向量為，則

，令，則.

設(shè)平面的法向量為，則

，令，則.

.

設(shè)二面角的平面角為，由已知為鈍角，

∴.