Question

（本小題滿分14分）
如圖，正四棱柱中，,點在上且.

(1) 證明：平面;
(2) 求二面角的余弦值.

Answer 1

解法一：
依題設知，．
（Ⅰ）連結交于點，則．由三垂線定理知，．…………2分
在平面內，連結交于點，
由于，故，，與互余．
于是．…………5分
與平面內兩條相交直線都垂直，所以平面．…………6分
（Ⅱ）作，垂足為，連結．由三垂線定理知，
故是二面角的平面角．…………8分
，，．
，．
又，．
．…………12分
∴ …………13分
所以二面角的余弦值為． …………14分．
解法二：
以為坐標原點，射線為軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標系．
依題設，．………2分
，．  ………4分
（Ⅰ）因為，，故，．
又，所以平面．  ………7分
（Ⅱ）設向量是平面的法向量，則
，．故，．………10分
令，則，，．………11分
等于二面角的平面角，
．………13分
所以二面角的余弦值為． …………14分

略