Question

（本小題滿分12分）
橢圓的左、右焦點分別為、，點，滿足．
(1)求橢圓的離心率；
(2)設直線與橢圓相交于兩點，若直線與圓相交于兩點，且，求橢圓的方程．

Answer 1

(1) (2)

試題分析：解：(1)設，因為，
所以. …………………………………………………………………2分
整理得，得(舍)，或.
所以.……………………………………………………………………………………4分
(2)由(1)知，橢圓方程，的方程為．
兩點的坐標滿足方程組，消去并整理，得.
解得.得方程組的解，.………………………7分
不妨設，則.
于是.
圓心到直線的距離.………………10分
因為，所以，整理得.
得 (舍)，或.
所以橢圓方程為. ……………………………………………………………12分
點評：解決該試題的關鍵是能利用其性質得到關系式，同時聯立方程組，求解交點的坐標，進而得到弦長，以及點到直線距離得到結論，屬于基礎題。