Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，BB₁=2

3

，D為AC上的動點．
（Ⅰ）求五面體A-BCC₁B₁的體積；
（Ⅱ）當D在何處時，AB₁∥平面BDC₁，請說明理由；
（Ⅲ）當AB₁∥平面BDC₁時，求證：平面BDC₁⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析：（I）由已知可得五面體是四棱錐A-BCC₁B₁，且正三角形ABC 的高就是這個四棱錐A-BCC₁B₁ 的高，代入棱錐體積公式，可得答案．
（II）連接B₁C交BC₁于O，連結DO，由三角形中位線定理可得OD∥AB₁，進而由線面平行的判定定理，可得AB₁∥平面BDC₁，即當點D為AC中點時，AB₁∥BDC₁平面
（III）由（Ⅱ）可知當AB₁∥平面BDC₁時，D為AC的中點，結合等腰三角三線合一，及正棱柱的幾何特征，可分別得到⊥AC，CC₁⊥BD，進而由線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理得到平面BDC₁⊥平面ACC₁A₁．

解答： 解：（I）如圖可知五面體是四棱錐A-BCC₁B₁，
∵側面 BCC₁B₁垂直于底面ABC，
∴正三角形ABC 的高h=

3

就是這個四棱錐A-BCC₁B₁ 的高，
又AB=2，BB₁=2

3

，．
于是 V 四棱形A-BCC1B1 =

1

3

S 矩形BCC1B1×h=

1

3

×2

3

×2×

3

=4．…4分
（Ⅱ）當點D為AC中點時，AB₁∥BDC₁平面．
證明：連接B₁C交BC₁于O，連結DO，
∵四邊形BCC₁B₁是矩形，
∴O 為B₁C中點，點D為AC中點
∴OD∥AB₁，
∵AB₁?平面BDC₁，OD?平面BDC₁，
∴AB₁∥平面BDC₁，
故D為AC的中點時滿足要求．               …8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知當AB₁∥平面BDC₁時，D為AC的中點．
∵△ABC為正三角形，D為AC的中點，
∴BD⊥AC，
由CC₁⊥平面ABC，BD?平面ABC
∴CC₁⊥BD
又∵AC∩CC₁=C，AC，CC₁?平面ACC₁A₁． 
∴BD⊥平面ACC₁A₁．
又BD?平面BDC₁，
∴平面BDC₁⊥平面ACC₁A₁．             …12分

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，棱錐的體積公式，直線與平面平行的判定，熟練掌握空間線面垂直及線面平行的判定定理，性質及幾何特征是解答的關鍵．