Question

【題目】四棱錐中,底面是邊長為的菱形,側面底面,60°, , 是中點,點在側棱上.

（Ⅰ）求證: ;

（Ⅱ）是否存在,使平面 平面？若存在,求出,若不存在,說明理由.

（Ⅲ）是否存在,使平面？若存在,求出.若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）詳見解析；（III）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）取中點,通過證明平面，可證。（2）以為坐標原點,OA,OB,OP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，用空間向量法尋找點Q.(3)由（2）用空間向量法尋找點Q.

試題解析：

（Ⅰ）取中點,連接.

因為,所以.

因為菱形中, ,所以.

所以.

因為,且平面,所以平面.

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知, ,

因為側面底面,且平面底面,所以底面.

以為坐標原點,如圖建立空間直角坐標系.

則,因為為中點,所以.

所以,所以平面的法向量為.

因為,設平面的法向量為,

則,即.

令,則,即.

所以.

由圖可知,二面角為銳角,所以余弦值為.

（Ⅲ）設

由（Ⅱ）可知.

設,則,

又因為,所以,即.

所以在平面中, ,

所以平面的法向量為,

又因為平面,所以,

即,解得.

所以當時, 平面