Question

【題目】已知拋物線，過焦點F的直線l與拋物線分別交于A、B兩點，O為坐標原點，且.

(1)求拋物線的標準方程；

(2)對于拋物線上任一點Q，點P（2t，0）都滿足|PQ|≥2|t|，求實數t的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)（﹣∞，]

【解析】

(1)設出過焦點F的直線l的方程，與拋物線方程聯立，利用一元二次方程根與系數關系，結合，可以求出拋物線的標準方程；

(2)設出點Q坐標，根據|PQ|≥2|t|，根據點Q橫坐標的取值范圍，結合不等式的性質可以求出實數t的取值范圍.

(1)拋物線的焦點F（，0），設直線l的方程為x＝my，

設A（x1，y1），B（x2，y2），聯立拋物線方程可得y2﹣2pmy﹣p2＝0，

可得，

則 ，

由，可得

解得p，即拋物線的方程為y2＝x；

(2)設點Q的坐標為（x0，y0），有y02＝x0，

由|PQ|≥2|t|，即2|t|，整理可得x02﹣4tx0+y02≥0，

即x02﹣4tx0+x0≥0，可得x0（x0﹣4t+1）≥0，

由x0≥0，可得x0﹣4t+1≥0，即1﹣4t≥0，可得t，

則t的取值范圍是（﹣∞，].