Question

【題目】已知函數f（x）= 的圖象過點（0，﹣1）．
（1）求實數a的值；
（2）若f（x）=m+ （m，n是常數），求實數m，n的值；
（3）用定義法證明：函數f（x）在（3，+∞）上是單調減函數．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意，已知函數f（x）= 的圖象過點（0，﹣1），

則有﹣1= ，解可得a=3，

（2）解：由（1）可得，a=3，則f（x）= = =1+ ，

若f（x）=m+ ，

即m+ =1+ ，

則必有m=1，n=6；

（3）解：證明：由（2）可得，f（x）=1+ ，

設x1＞x2＞3，

則f（x1）﹣f（x2）=（1+ ）﹣（1+ ）= ﹣ = ，

又由x1＞x2＞3，則（x1﹣3）＞0，（x2﹣3）＞0，（x2﹣x1）＜0，

故f（x1）﹣f（x2）＜0，

故函數f（x）在（3，+∞）上是單調減函數．

【解析】（1）、由函數圖象過點（0，﹣1），可得﹣1= ，解可得a的值；（2）、由（1）可得a的值，代入可得f（x）= = =1+ ，結合題意，可得m+ =1+ ，比較分析可得m、n的值；（3）、由（2）可得函數的解析式為f（x）=1+ ，設x1＞x2＞3，用作差法可得f（x1）﹣f（x2）=（1+ ）﹣（1+ ）= ﹣ = ，分析（x1﹣3）、（x2﹣3）和（x2﹣x1）的符號，可得f（x1）﹣f（x2）＜0，由函數單調性的定義可得證明．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．