Question

分別求適合下列條件的曲線的標準方程：
（1）焦點 為F₁（0，-1）、F₂（0，1）且過點M（

3

2

，1）橢圓；
（2）求經過點A（0，4），B（4，6）且圓心在直線x-2y-2=0上的圓的方程；
（3）與雙曲線x²-

y2

2

=1有相同的漸近線，且過點（2，2）的雙曲線．

Answer 1

分析：（1）由已知條件設橢圓的標準方程為：

x2

a2-1

+

y2

a2

=1，把點M（

3

2

，1）代入能求出橢圓方程．
（2）設圓心坐標為（a，b），由題意列出方程組求出圓心坐標和圓半徑，由此能求出圓的方程．
（3）設與雙曲線x²-

y2

2

=1有相同的漸近線的雙曲線方程為x2-

y2

2

=λ(λ≠0)，把點（2，2）代入能求出雙曲線方程．

解答：解：（1）∵橢圓焦點為F₁（0，-1）、F₂（0，1），
∴設橢圓的標準方程為：

x2

a2-1

+

y2

a2

=1，
∵橢圓過點M（

3

2

，1），
∴

9 4

a2-1

+

1

a2

=1，
解得a²=4，或a²=

1

4

，
∴橢圓方程為：

x2

3

+

y2

4

=1．
（2）設圓心坐標為（a，b），由題意知：

a2+(b-4)2 = (a-4)2+(b-6)2 a-2b-2=0

，
解得a=4，b=1，
∴圓心為（4，1），
圓半徑r=

(4-0)2+(1-4)2

=5，
∴圓的方程為（x-4）²+（y-1）²=25．
（3）設與雙曲線x²-

y2

2

=1有相同的漸近線的雙曲線方程為：
x2-

y2

2

=λ(λ≠0)，
把點（2，2）代入，得λ=4-

4

2

=2，
∴雙曲線方程為

x2

2

-

y2

4

=1．

點評：本題考查橢圓方程、圓的方程、雙曲線方程的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意代入法的合理運用．