【題目】已知橢圓 
，離心率
，它的長軸長等于圓
的直徑.
（1）求橢圓 
的方程；
（2）若過點
的直線
交橢圓
于
兩點，是否存在定點
，使得以
為直徑的圓經過這個定點，若存在，求出定點
的坐標；若不存在，請說明理由？
【答案】（1）
；（2）定點
.
【解析】試題分析：（1）利用配方法得到圓的圓心和半徑，由此得到
，結合
， 
可求得橢圓的方程.（2）先從特殊情況出發，過
作斜率為
和斜率不存在的直線，求出兩個特殊圓，這兩個圓的交點為
，猜想存在點
，設出直線
的方程，聯立直線的方程和橢圓的方程，寫出韋達定理，計算
，所以
，即以
為直徑的圓經過這個定點
.
試題解析：
(1) 圓方程
化為
，則圓的直徑為
，由
得： 
，所以橢圓
的方程： 
.
(2)過點
作斜率為
和斜率不存在的直線
交橢圓
的兩個交點為直徑的圓分別為
和
，這兩個圓的交點為
.所以猜想存在點
，使得以 
為直徑的圓經過這個定點. 設直線 
的方程為
，與橢圓
，聯立方程組得： 
，設交點
得， 
，則
，所以
，即以 
為直徑的圓經過這個定點
.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓C的圓心在直線l：y=2x上，且經過點A（﹣3，﹣1），B（4，6）．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）點P是直線l上橫坐標為﹣4的點，過點P作圓C的切線，求切線方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
,離心率為
,點
是橢圓上任意一點, 
的周長為
.
(Ⅰ)求橢圓
的方程；
(Ⅱ)過點
(-4,0)任作一動直線
交橢圓
于
兩點,記
,若在線段
上取一點
,使得
,則當直線
轉動時,點
在某一定直線上運動,求該定直線的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示, 
是邊長為3的正方形, 
平面
與平面
所成角為
.
(Ⅰ)求證： 
平面
；
(Ⅱ)設點
是線段
上一個動點,試確定點
的位置,使得
平面
,并證明你的結論．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2017年9月16日05時，第19號臺風“杜蘇芮”的中心位于甲地，它以每小時30千米的速度向西偏北
的方向移動，距臺風中心
千米以內的地區都將受到影響，若16日08時到17日08時，距甲地正西方向900千米的乙地恰好受臺風影響，則
和
的值分別為（附： 
）（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知g（x）=﹣x2﹣3，f（x）是二次函數，f（x）+g（x）是奇函數，且當x∈[﹣1，2]時，f（x）的最小值為1，求f（x）的表達式．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知二次函數t滿足f（0）=f（2）=2，f（1）=1．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）當x∈[﹣1，2]時，求y=f（x）的值域；
（3）設h（x）=f（x）﹣mx在[1，3]上是單調函數，求m的取值范圍．
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