Question

【題目】已知函數， （）

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）證明：當時，對于任意， ，總有成立，其中是自然對數的底數.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】試題分析：（I）先求導，由此，對進行分類討論， 時，開口向下， 時，開口向上，分別畫出對應導函數的圖象，從而得出單調區間.（II）由（I）當時， 在是正函數，在上為減函數. .用（I）的方法，對求導后進行分類討論，利用導數證明恒成立即可.

試題解析：

（Ⅰ）函數f （x）的定義域為R，f ′（x）＝＝.

當a>0時，當x變化時，f ′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（－∞，－1）	－1	（－1，1）	1	（1，＋∞）
f ′（x）	－	0	＋	0	－
f （x）	↘		↗		↘

當a<0時，當x變化時，f ′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（－∞，－1）	－1	（－1，1）	1	（1，＋∞）
f ′（x）	＋	0	－	0	＋
f （x）	↗		↘		↗

綜上所述，

當a>0時，f （x）的單調遞增區間為（－1，1），單調遞減區間為（－∞，－1），（1，＋∞）；

當a<0時，f （x）的單調遞增區間為（－∞，－1），（1，＋∞），單調遞減區間為（－1，1）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當a>0時，f （x）在區間（0，1）上單調遞增，f （x）>f （0）＝a；

f （x）在區間（1，e]上單調遞減，且f （e）＝＋a>a，所以當x∈（0，e]時，f （x）>a.

因為g（x）＝aln x－x，所以g′（x）＝－1，令g′（x）＝0，得x＝a.

①當a≥e時，g′（x）≥0在區間（0，e]上恒成立，

所以函數g（x）在區間（0，e]上單調遞增，所以g（x）max＝g（e）＝a－e<a.

所以對于任意x1，x2∈（0，span>e]，仍有g（x1）<f（x2）．

②當0<a<e時，由g′（x）>0，得0<x<a；由g′（x）<0，得e≥x>a，所以函數g（x）在區間（0，a）上單調遞增，在區間（a，e]上單調遞減．所以g（x）max＝g（a）＝aln a－a.

因為a－（aln a－a）＝a（2－ln a）>a（2－ln e）＝a>0，

所以對任意x1，x2∈（0，e]，總有g（x1）<f （x2）．

綜上所述，對于任意x1，x2∈（0，e]，總有g（x1）<f （x2）．