Question

【題目】矩形中， ， ，點為中點，沿將折起至，如下圖所示，點在面的射影落在上.

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據射影可得面面垂直，再有面面垂直的性質得線面垂直，從而；（Ⅱ）以為坐標原點，以過點且平行于的直線為軸，過點且平行于的直線為軸，直線為軸，建立如圖所示直角坐標系．利用空間向量計算二面角．

試題解析：（Ⅰ）由條件，點在平面的射影落在上

平面平面，易知

平面，而平面

（Ⅱ）以為坐標原點，以過點且平行于的直線為軸，過點且平行于的直線為軸，直線為軸，建立如圖所示直角坐標系．

則， ， ，

設平面的法向量為

則，即，令，可得

設平面的法向量為

則，即，令，可得

考慮到二面角為鈍二面角，則二面角的余弦值為．