Question

【題目】已知某工廠要設計一個部件（如圖陰影部分所示），要求從圓形鐵片上進行裁剪，部件由三個全等的矩形和一個等邊三角形構成，設矩形的兩邊長分別為,（單位：cm），且要求 ，部件的面積是．

（1）求y關于x的函數表達式，并求定義域；

（2）為了節省材料，請問x取何值時，所用到的圓形鐵片面積最小，并求出最小值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）時，面積最小，.

【解析】

（1）利用已知條件求出，然后求解函數的定義域即可．

（2）設圓形鐵片半徑為R，則面積S=πR2，過圓心O作CD的垂線，垂足為E，交AB于點F，連結OD，求出R的表達式，然后利用基本不等式求解最小值即可．

（1）由題意，利用矩形面積和正三角形的面積公式，

可得，整理得，

又由，解得，即函數的定義域為，

即，．

（2）設圓形鐵片半徑為R，則面積S=πR2，

過圓心O作CD的垂線，垂足為E，交AB于點F，連結OD，則，

所以=，

因為x2＞0，由基本不等式，可得，

當且僅當，即時，取等號，

所以圓形鐵片的最小面積為（cm2），

答：當x=2時，所用圓形貼片的面積最小，最小面積為（cm2）．