Question

【題目】如圖，已知頂點，，動點分別在軸，軸上移動，延長至點，使得，且.

（1）求動點的軌跡；

（2）過點分別作直線交曲線于兩點，若直線的傾斜角互補，證明：直線的斜率為定值；

（3）過點分別作直線交曲線于兩點，若，直線是否經過定點？若是，求出該定點，若不是，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）設點M,P,Q的坐標,將向量進行坐標化，整理即可得軌跡方程；（2）設點，，直線的傾斜角互補，則兩直線斜率互為相反數，用斜率公式計算得到，即可計算kAB；（3）若，由兩直線斜率積為-1，可得到關于與的等量關系，寫出直線AB 的方程，將等量關系代入直線方程整理可得直線AB經過的定點．

（1）設，，.

由，得，即.

因為，所以，所以.

所以動點的軌跡為拋物線，其方程為.

（2）證明：設點，，

若直線的傾斜角互補，則兩直線斜率互為相反數，

又，，所以，

，整理得，

所以.

（3）因為，

所以，

即，①

直線的方程為：，

整理得：，②

將①代入②得，即，

當時，

即直線經過定點.