Question

【題目】已知圓

（1）求圓關于直線對稱的圓的標準方程；

（2）過點的直線被圓截得的弦長為8，求直線的方程；

（3）當取何值時，直線與圓相交的弦長最短，并求出最短弦長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）

【解析】

（1）設，根據圓心與關于直線對稱，列出方程組，求得的值，即可求解；

（2）由圓的弦長公式，求得，根據斜率分類討論，求得直線的斜率，即可求解；

（3）由直線，得直線過定點,根據時，弦長最短，即可求解．

（1）由題意，圓的圓心，半徑為，

設，因為圓心與關于直線對稱，

所以，解得，則，半徑，

所以圓標準方程為：

（2）設點到直線距離為，圓的弦長公式，得，解得，

①當斜率不存在時，直線方程為，滿足題意

②當斜率存在時，設直線方程為，則，解得，

所以直線的方程為，

綜上，直線方程為或

（3）由直線，可化為，可得直線過定點,

當時，弦長最短，又由，可得，

此時最短弦長為．