Question

已知拋物線C：y=mx²（m＞0），焦點為F，直線2x-y+2=0交拋物線C于A、B兩點，P是線段AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線C于點Q，
（1）若拋物線C上有一點R（x_R，2）到焦點F的距離為3，求此時m的值；
（2）是否存在實數m，使△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出焦點坐標，再利用拋物線的定義把焦點F的距離為3轉化為到準線的距離為3即可求m的值；（也可以直接利用兩點間的距離公式求解．）
（2）△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形即是

QA

•

QB

=0，把直線方程和拋物線方程聯立，可以得到A，B兩點的坐標進而求得P以及Q的坐標，代入

QA

•

QB

=0，即可求出m的值．

解答：解：（1）∵拋物線C的焦點F(0，

1

4m

)，
∴|RF|=yR+

1

4m

=2+

1

4m

=3，得m=

1

4

．
（2）聯立方程

y=mx2 2x-y+2=0

，
消去y得mx²-2x-2=0，設A（x₁，mx₁²），B（x₂，mx₂²），
則

x1+x2= 2 m x1•x2=- 2 m

（*），
∵P是線段AB的中點，∴P(

x1+x2

2

，

m x 2 1 +m x 2 2

2

)，即P(

1

m

，yp)，∴Q(

1

m

，

1

m

)，
得

QA

=(x1-

1

m

，m

x

2 1

-

1

m

)，

QB

=(x2-

1

m

，m

x

2 2

-

1

m

)，
若存在實數m，使△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形，則

QA

•

QB

=0，
即(x1-

1

m

)•(x2-

1

m

)+(m

x

2 1

-

1

m

)(m

x

2 2

-

1

m

)=0，
結合（*）化簡得-

4

m2

-

6

m

+4=0，
即2m²-3m-2=0，∴m=2或m=-

1

2

（舍去），
∴存在實數m=2，使△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形．

點評：本題考查拋物線的應用以及直線與拋物線的綜合問題．解決本題的關鍵是看清題中給出的條件，靈活運用韋達定理，中點坐標公式進行求解．