Question

已知中心在原點的橢圓C: 的一個焦點為為橢圓C上一點，△MOF₂的面積為.
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在平行于OM的直線l，使得l與橢圓C相交于A、B兩點，且以線段AB為直徑的圓恰好過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1），（2）

試題分析：（1）求橢圓標準方程一般方法為待定系數法，因為C=3，則橢圓C的方程為，又，即點M的坐標為(1,4)，或（舍去）橢圓方程為，（2）存在性問題，從假設存在出發. 假定存在符合題意的直線l與橢圓C相交于，因為以AB為直徑的圓過原點，，設直線l
方程為.由得
，解得，滿足，因此直線l的方程為.
⑴C=3，則橢圓C的方程為
又
點M的坐標為(1,4)
或（舍去）
橢圓方程為                            7分
⑵假定存在符合題意的直線l與橢圓C相交于，其方程為.
由，
，且.                         11分
因為以AB為直徑的圓過原點，
 
.    ，代入.
存在這的直線l，所在直線的方程為.                 15分