Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，右焦點到右頂點的距離為.
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若直線與橢圓交于兩點，是否存在實數，使成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）,（Ⅱ）不存在.

試題分析：（Ⅰ）求橢圓標準方程，關鍵利用待定系數法求出a,b. 由..及，解得，．所以．所以橢圓的標準方程是．（Ⅱ）存在性問題，一般從假設存在出發,建立等量關系，有解就存在，否則不存在. 條件的實質是垂直關系，即.所以．,
把代入橢圓C:中，整理得.整理得，矛盾．
（Ⅰ）設橢圓的方程為，半焦距為.
依題意 解得，，所以.
所以橢圓的標準方程是.                        .4分      
（Ⅱ）不存在實數，使，證明如下：
把代入橢圓C:中，整理得.
由于直線恒過橢圓內定點，所以判別式.
設，則,.
依題意，若，平方得.
即,
整理得，
所以,
整理得，矛盾．
所以不存在實數，使.          .14分