Question

【題目】己知函數(shù)， ＋1．

（1）若，曲線y＝f（x）與在x＝0處有相同的切線，求b；

（2）若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（3）若對任意恒成立，求b的取值區(qū)間

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時，曲線與在處的有相同的切線方程，可得，即可求的值；（2）設(shè),求出， 求得 的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得 的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（3）當(dāng)時，令，分兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值 ，進而可得結(jié)果.

試題解析：（1） ， ， ， ，

f(x) 與g(x) 在x＝0處有相同的切線， .

（2）若，則y＝f(x)g(x)= ，

所以

又，

所以函數(shù)y＝f(x)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

（3） 由a＝0，則， ，

①當(dāng)時， ，函數(shù)在單調(diào)遞增，

又， 時， ，即恒成立.

②當(dāng)時， ， ； ，

函數(shù)在單調(diào)遞減； 單調(diào)遞增，

（ⅰ）當(dāng)時， ，又， ，

而當(dāng)時， ，則，

與相矛盾.

（ⅱ）當(dāng)時， ， 函數(shù)在單調(diào)遞減，

，與矛盾.

故的取值區(qū)間為.

【方法點晴】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、不等式的恒成立和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于難題．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進一步求函數(shù)最值的步驟：①確函數(shù)的定義域；②對求導(dǎo)；③令，解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間；令，解不等式得 的范圍就是遞減區(qū)間；④根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的極值及最值（閉區(qū)間上還要注意比較端點處函數(shù)值的大小）.