Question

【題目】已知兩定點F1（﹣ ，0），F2（ ，0），滿足條件|PF2|﹣|PF1|=2的點P的軌跡是曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）設過點（0，﹣1）的直線與曲線E交于A，B兩點．如果|AB|=6 ，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由雙曲線的定義可知，曲線E是以F1（﹣ ，0），F2（ ，0）為焦點的雙曲線的左支，且c= ，a=1，

∴b= =1，故曲線E的方程為x2﹣y2=1（x＜0）

（2）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），由題意建立方程組 ，消去y，得（1﹣k2）x2+2kx﹣2=0，

又已知直線與雙曲線左支交于兩點A，B，有 ，

解得﹣ ＜k＜﹣1．

∵|AB|= = =2 = ，

∴28k4﹣55k2+25=0，

∴ 或 ，

∵﹣ ＜k＜﹣1，

∴ ，

∴直線AB的方程為

【解析】（1）根據條件|PF2|﹣|PF1|=2，利用雙曲線的定義，可求曲線E的方程；（2）直線方程代入雙曲線方程，利用直線與雙曲線左支交于兩點A，B，求出k的范圍，再利用|AB|=6 ，求出k的值，從而可求直線AB的方程．