Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=4x+a2x+3，a∈R
（1）當a=﹣4時，且x∈[0，2]，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若f（x）＞0在（0，+∞）對任意的實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=﹣4時，令t=2x，

由x∈[0，2]，得t∈[1，4]，y=t2﹣4t+3=（t﹣2）2﹣1

當t=2時，ymin=﹣1；當t=4時，ymax=3．

∴函數(shù)f（x）的值域為[﹣1，3]

（2）解：設t=2x，則t＞1，f（x）＞0在（0，+∞）對任意的實數(shù)x恒成立

等價于t2+at+3＞0在t∈（1，+∞）上恒成立，

∴a＞﹣（t+ ）在（1，+∞）上恒成立，

∴a＞[﹣（t+ ）]max，

設g（t）=﹣（t+ ），t＞1，函數(shù)g（t）在（1， ）上單調(diào)遞增，在（ ，+∞）上單調(diào)遞減

∴g（t）max=g（ ）=﹣2 ，

∴a＞﹣2

【解析】（1）把a=﹣4代入函數(shù)解析式，換元后利用配方法求函數(shù)f（x）的值域；（2）令t=2x ， 由x的范圍得到t的范圍，則問題轉(zhuǎn)化為t2+at+3＞0在t∈（1，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值即可．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的值域的相關(guān)知識，掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的．