Question

【題目】已知函數，

（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；

（Ⅱ）若對任意恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數在上單調遞減，在， 上單調遞增． （Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）當時， ，求導因式分解可得單調區間;

（2）利用導數將不等式恒成立問題轉化為對單調性的討論，再利用單調性求解參數范圍.

試題解析：（Ⅰ）當時，

則，

此時：函數在上單調遞減，在， 上單調遞增．

（Ⅱ）依題意有：

，

令，

得： ，

①當即時，

函數在恒成立，

則在單調遞增，

于是，

解得： ；

②當即時，

函數在單調遞減，在單調遞增，

于是，不合題意，

此時： ；

綜上所述：實數的取值范圍是

點晴:本題主要考查函數單調性，不等式恒成立問題.要求單調性，求導比較導方程的根的大小，解不等式可得單調區間，要證明不等式恒成立問題可轉化為構造新函數證明新函數單調，只需要證明其導函數大于等于0（或者恒小于等于0即可），要證明一個不等式，我們可以先根據題意構造新函數，求其值最值即可.