Question

【題目】已知函數f(x)＝x3＋x2＋x(0<a<1，x∈R)．若對于任意的三個實數x1，x2，x3∈[1,2]，都有f(x1)＋f(x2)>f(x3)恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

解 因為f′(x)＝x2＋x＋＝ (x＋a－2)，所以令f′(x)＝0，

解得x1＝，x2＝2－a.

由0<a<1，知1<2－a<2.

所以令f′(x)>0，得x<，或x>2－a；

令f′(x)<0，得<x<2－a，

所以函數f(x)在(1,2－a)上單調遞減，在(2－a,2)上單調遞增．

所以函數f(x)在[1,2]上的最小值為f(2－a)＝ (2－a)2，最大值為max{f(1)，f(2)}＝max.

因為當0<a≤時，－≥a；

當<a<1時，a>－，

由對任意x1，x2，x3∈[1,2]，都有f(x1)＋f(x2)>f(x3)恒成立，得2f(x)min>f(x)max(x∈[1,2])．

所以當0<a≤時，必有2× (2－a)2>－，

結合0<a≤可解得1－<a≤；

當<a<1時，必有2× (2－a)2>a，

結合<a<1可解得<a<2－.

綜上，知所求實數a的取值范圍是1－<a<2－.