Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是矩形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是PC，BD的中點(diǎn)。

（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：平面PAD⊥平面PCD

Answer 1

（1）詳見解析，（2）詳見解析.

試題分析：（1）證線面平行找線線平行，本題有G為AD中點(diǎn)，F(xiàn)為BD中點(diǎn)條件，可利用平行四邊形性質(zhì).即取PD中點(diǎn)H，AD中點(diǎn)G，易得EFGH為平行四邊形，從而有EF∥GH.寫定理?xiàng)l件時(shí)需完整，因?yàn)槿羧鄙貳F面PAD，，則EF可能在面PAD內(nèi)，若缺少GH面PAD，則EF與面PAD位置關(guān)系不定.（2）證面面垂直關(guān)鍵找線面垂直.可由面面垂直性質(zhì)定理探討，因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD，CD垂直AD,而AD為兩平面的交線,所以應(yīng)有CD垂直于平面PAD，這就是本題證明的目標(biāo).
試題解析：（1）設(shè)PD中點(diǎn)為H，AD中點(diǎn)為G，連結(jié)FG，GH，HE
G為AD中點(diǎn)，F(xiàn)為BD中點(diǎn)，GF，
同理EH，
ABCD為矩形，ABCD，GFEH，EFGH為平行四邊形
EF∥GH，又∥面PAD.
（2）面PAD⊥面ABCD，面PAD面ABCD＝AD，又ABCD為矩形，
CD⊥AD，CD⊥面PAD
又CD面PCD，面PAD⊥面PCD.