Question

已知函數f（x）＝x－xlnx ，，其中表示函數f（x）在
x＝a處的導數，a為正常數．
（1）求g（x）的單調區間；
（2）對任意的正實數，且，證明：
 
（3）對任意的

Answer 1

見解析.

第一問中利用導數的，，然后判定的單調性。
第二問中，對任意的正實數，且，取，則，由（1）得，所以，
同理取，則，由（1）得，
所以，，綜合克的結論。
第三問中，對k=1,2,3…n-2，令，則
，
顯然1<x<x+k，，所以，
利用放縮法證明。
解：（1），，
．      …………………2分
所以，時，，單調遞增；
時，，單調遞減．
所以，的單調遞增區間為，單調遞減區間為． ………4分
（2）（法1）對任意的正實數，且，
取，則，由（1）得，
所以，……①；                    ………………………6分
取，則，由（1）得，
所以，……②．
綜合①②，得結論． ………………………8分
（3）對k=1,2,3…n-2，令，則
，
顯然1<x<x+k，，所以，
所以，在上單調遞減．
由，得，即．
．       ……………10分
所以
所以，．…………14分