Question

【題目】已知三棱錐（如圖一）的平面展開圖（如圖二）中，四邊形為邊長等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐中：

（I）證明：平面平面；

（Ⅱ）若點在棱上運動，當直線與平面所成的角最大時，求二面角的余弦值.

圖一

圖二

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

(1)設AC的中點為O,證明PO垂直AC,OB,結合平面與平面垂直判定,即可.(2)建立直角坐標系,分別計算兩相交平面的法向量,結合向量的數量積公式,計算夾角,即可.

（Ⅰ）設的中點為，連接，.

由題意，得，

，.

因為在中，，為的中點，

所以，

因為在中，，，，

，所以.

因為，平面，所以平面，

因為平面，所以平面平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，平面，

所以是直線與平面所成的角，

且，

所以當最短時，即是的中點時，最大.

由平面，，所以，，于是以

，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖示空間直角坐標系，

則，，，，，，

，，.

設平面的法向量為，則

由得：.

令，得，，即.

設平面的法向量為，

由得：，

令，得，，即.

.

由圖可知，二面角的余弦值為.