【題目】已知橢圓
的離心率為
，橢圓
截直線
所得的線段的長度為
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線
與橢圓交于
兩點，點
是橢圓上的點，
是坐標原點，若
，判定四邊形
的面積是否為定值？若為定值，求出定值；如果不是，請說明理由.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）見解析
【解析】
（Ⅰ）根據橢圓
截直線
所得的線段的長度為
，可得橢圓過點
，結合離心率即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）分類討論：當直線
的斜率不存在時，四邊形
的面積為
； 當直線的斜率存在時，設出直線方程，與橢圓方程聯立，由
得
，代入曲線C，整理出k，m的等量關系式，再根據
寫出面積的表達式整理即可得到定值。
(Ⅰ)由
解得
得橢圓的方程為.
（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，直線
的方程為
或
，
此時四邊形的面積為．
當直線的斜率存在時，設直線方程是
，聯立橢圓方程
，
點
到直線的距離是
由得
因為點
在曲線上，所以有
整理得
由題意四邊形為平行四邊形，所以四邊形的面積為
由得
, 故四邊形的面積是定值，其定值為．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
經過點
，右焦點到直線
的距離為3．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）過點A作兩條互相垂直的直線
，
分別交橢圓于M，N兩點，求證：直線MN恒過定點
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，其中
.
（1）當
時，求函數
在
處的切線方程；
（2）記函數的導函數是
，若不等式
對任意的實數
恒成立，求實數
的取值范圍；
（3）設函數
，
是函數
的導函數，若函數存在兩個極值點
，
，且
，求實數的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2018年雙11當天，某購物平臺的銷售業績高達2135億人民幣．與此同時，相關管理部門推出了針對電商的商品和服務的評價體系，現從評價系統中選出200次成功交易，并對其評價進行統計，對商品的好評率為0.9，對服務的好評率為0.75，其中對商品和服務都做出好評的交易為140次．
（1）請完成下表，并判斷是否可以在犯錯誤概率不超過0.5％的前提下，認為商品好評與服務好評有關？
對服務好評 | 對服務不滿意 | 合計 | |
對商品好評 | 140 | ||
對商品不滿意 | 10 | ||
合計 | 200 |
（2）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的3次購物中，設對商品和服務全好評的次數為X．
①求隨機變量X的分布列；
②求X的數學期望和方差．
附：
，其中n＝a＋b＋c＋d．
P（K2≥k） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
為正方形，
底面，
，
為線段
的中點．
（1）若
為線段
上的動點，證明：平面
平面
；
（2）若為線段，
，
上的動點（不含
，
），
，三棱錐
的體積是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知曲線
上任意一點
滿足
，直線
的方程為
，且與曲線交于不同兩點
，
.
（1）求曲線的方程；
（2）設點
，直線
與
的斜率分別為
，
，且
，判斷直線是否過定點？若過定點，求該定點的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，該幾何體是由一個直三棱柱ABE﹣DCF和一個四棱錐P﹣ABCD組合而成，其中EF＝EA＝EB＝2，AE⊥EB，PA＝PD
，平面PAD∥平面EBCF．
（1）證明：平面PBC∥平面AEFD；
（2）求直線AP與平面PCD所成角的正弦值．
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