Question

【題目】已知橢圓的上下兩個焦點分別為，過點與軸垂直的直線交橢圓于兩點，的面積為，橢圓的長軸長是短軸長的倍.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知為坐標原點，直線與軸交于點，與橢園交于兩個不同的點，若存在實數，使得，求的取值范圍，

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據已知設橢圓的焦距，當時，，由題意得，的面積為，，，解得即可；

（2）設 ，，，分類討論：當時，利用橢圓的對稱性即可得出；時，直線的方程與橢圓的方程聯立得到及根與系數的關系，再利用向量相等，代入計算即可得出．

(1)由題意可得 ,則,則，

的面積， ①

橢圓的長軸長是短軸長的倍，

②，

③，

由①②③解得，，

∴橢圓的標準方程.

(2)當時,則，由橢圓的對稱性得，即

時,存在實數,使得，

當時,得，

三點共線，，

設,

由，得(，

由已知得,即

且，.

由得,

，

， 顯然不成立，

，

,即.

解得或.

綜上所述,的取值范圍為.